Unidad 5 ··Tareas··

··Tarea 2··

··Tarea 3··

··Límites·· Tarea 4 Continuidad

··Límites·· Tarea 3 Asíntotas

··Límites·· Tarea 2

··Límites·· Tarea 1

Par e Impar

Composicion de Funciones

Traslacion de Funciones

·· Tarea 4·· Funciones Especiales··

··Tarea 3··Obtener dominio, rango, sobreyectiva, inyectiva o biyectiva, creciente o decreciente e inversa.

··Tarea 2··

··Tarea 1··Determinar si es Relación o Función··

··Funcion Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva··

Una función es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de corresponde un único origen en el dominio.

Una función es sobreyectiva si está aplicada sobre todo el codominio. Una función es biyectiva si es al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.

··Funcion Creciente y Decreciente··

Una función es creciente si en la medida en que crece el valor de los elementos del dominio también crece el valor de las imágenes.

Una función es decreciente si en la medida en que crece el valor de los elementos del dominio, las imágenes decrecen en valor.

··Funciones algebraicas y trascendentales··

Una función algebráica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebráicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raices.

Un ejemplo de una función algebráica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

.

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

··Funciones··

Tarea 4..[[Desigualdades Cuadraticas]]

Tarea 3..[[ Valor Absoluto ]]

Ejercicios

Tarea 2.. [[ Desigualdades e Intervalos ]]

Resolver las siguientes desigualdades, expresar la solucion como intervalo y la recta numerica

Tarea 1..[[ Desigualdadess ]]

Intervalos

Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados.

Intervalos acotados

· Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a< x< b< x< b.<>
· Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a< x< b.
· Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a.

· Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a< x< b< x£b.>

Los intervalos no acotados se representan mediante una semirecta.

o (-inf ,a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se expresa: x< a

o (-inf ,a]. Está formado por los números reales x menores que a, incluido a. Se expresa: x< a.
o [a,+ inf). Está formado por los números reales x mayores que a, incluido a. Se expresa: a< x.
o (a,+ inf). Está formado por los números reales x mayores que a, excluido a. Se expresa: a< x< x.>

Tarea2..Desigualdad y Teoremas

Una desigualdad es una expresion matematica en la que los dos miembros no son equivalentes entre si.

Los terminos para indicar una desigualdad se indican como > o <, el primero se lee "mayor que" y el segundo "menor que" aunque tienen sus derivados los cuales son "mayor igual que" y "menor igual que"

Algunos puntos que hay que tener en cuenta cuando se resuelve una desigualdad.

1.Hacer uno de los lados de la desigualdad igual a cero.
2.Simplificar y factorizar cuando sea posible en factores lineales.
3.Para factores cuadráticos que no puedan o que sea difícil factorizar, completar el cuadrado..
4.Encontrar todos los valores críticos en donde los factores se anulan.
5.Utilizar la recta numérica o alguna gráfica para ayudarse a determinar la solución.
6.La solución debe ser expresada en la notación de intervalos o de conjuntos.

Teoremas


Teorema 1
Podemos sumar o restar ambos lados de una desigualdad y ésta se conserva, es decir, que si una desigualdad es menor, después de sumarle o restarle, la desigualdad que se forma seguirá siendo menor o mayor según el caso.



Teorema 2
Podemos multiplicar una cantidad que debe ser positiva a ambos lados de la desigualdad y ésta se conserva, ya sea mayor o menor, esto no se aplica a números negativos.



Teorema 3
Podemos multiplicar a ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa y la desigualdad se invierte, es decir, que si tenemos una desigualdad menor que, ésta cambia a una mayor que y viceversa.


Teorema 4
A este teorema se le llama transitividad de la desigualdad

Tarea1

A que propiedad corresponden las siguientes situaciones?

1. (-2)+(2)=0---------------------- Inverso
2. 3(√5+1)=(√5+1)3--------------Conmutativo
3. √13 +0=√13---------------------Identidad
4. si =√3 entonces √3=x-----------Reciprocidad
5. √2=√2--------------------------Igualdad
6. (x+2y)+z=z+(x+2y)--------------Conmutativa


Expresar los siguientes numeros como racional, entero y decimal si es posible


a) 0.444--------------irracional
b) 0.505050---------irracional
c) 5.818181---------- irracional
d) 3.023023----------irracional
e) 1/8-----------------racional
f) 15/23--------------irracional
g) √2-----------------irracional
h)3.1416-----------irracional

comprobacion:

a) x=0.444
10x=4.44
x=0.44
9x= 4
x=4/9

b) x=o.505050
100x=50.505
x= 0.505
99x=50
x=50/99

c) x=5.818181
100x=581.8181
x=5.8181
99x=576
x=576/99=192/33=64/11

d) x= 3.023023
1000x= 3023.23
x= 3.023
999x=3020
x=3020/999

e) 1/8= 0.125

f) 15/23= 0.652173913

g) √2= 1.414212562

h)¶=3.1416

Biografia de Richard Dedekind

Nació en Braunschweig (Alemania), su padre era abogado y profesor de leyes en el colegio Carolinum de Braunschweig. Años más tarde Richard fue profesor de este colegio.

En 1850 entró en la universidad de Gotinga y en 1858 fue nombrado profesor ayudante del politécnico de Zurich, por consejo de Weirstrass.

Dedekind fue uno de los más grandes matemáticos de su tiempo, a pesar de que permaneció la mayor parte de su vida como profesor de secundaria.

Dedekind trabajó en teoría de números y murio en 1916 a los 85 años.

Numeros Reales

Los numeros reales se definen como el conjunto de numeros que se encuentran en una recta infinita y pueden ser positivos o negativos, con decimales o sin decimales.

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del 1000 a.C.; alrededor del 500 a.C. matematicos Griegos liderados por Pitagoras se dieron cuenta de la necesidad de los numeros irracionales. Los numeros negativos fueron inventados por los indios cerca del 600 y se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII; en el siglo XVIII en el area de calculo se utilizaban conjuntos de numeros reales que no tenian una definicion concisa y fue Georg Cantor quien dio una definicion en 1871. Fue lograda la construccion y sistematizacion de los numeros reales en el siglo XIX por dos grandes matematicos que utilizaron la Teoria de Conjuntos de Georg Cantor y el analisis matematico de Richard Dedeking.


Los numeros se dividen en los siguientes conjuntos:


Los numeros Reales (R) contienen a los numeros Racionales (Q) e Irracionales (Q´), los numeros racionales se dividen en Enteros (Z) y Fraccionarios(W), los numeros enteros a su vez se dividen en Naturales(N), Enteros Negativos (M) y Cero.

Los numeros reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de digitos a la derecha de la coma decimal, se dice que un numero real es recursivo si sus digitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un numero no recursivo es aquel que es imposible de especificar explicitamente.


Con los numeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones basicas con dos excepciones importates:

1. No existen raices de orden par de numeros negativos en numeros reales, razon por la que existe el conjunto de los numeros complejos donde estas operaciones si estan definidas.

2. No existe la division entre cero pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie.

Es por estas razones que en ramas mas importantes de las matematicas existen las asintotas.


Algunas de las propiedades de los numeros reales son las siguientes:

Cerradura. Si a y b están en R entonces a+b y a.b son números determinados en forma unica que están también en R.

Conmutativa (Suma y Multiplicación). Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a.b = b.a.

Asociativa. (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a.(b.c)= (a.b).

Distributiva. Si a, b y c están en R entonces a.(b+c) = ab+ac.

Neutros. R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a.1= a para a que pertenece a los reales.

Elementos inversos. Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a.1/a = 1.